UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
LINCENCIATURA EM MATEMÁTICA – EaDDISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
PROFESSORA: ROSIMEIRE BATISTELA
ALUNOS: ALESANDRA ANJOS SILVA
CLEIDE PEREIRA DE SOUZA
ILMARLÉIA DOS SANTOS SILVA
JOCELMO SANTOS
MARI ROSÂNGELA NOVAIS LEITE CAIRES
A origem histórica da Trigonometria
A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI = três GONO= ângulos METRIA= medida. Etimologicamente, significa medida dos ângulos de um triângulo e determina um ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes.
Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolomeu 150 d.C o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.
Na segunda metade do século dois a.C., surgiu um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilônia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1º em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto.
Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda. Ele construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0º a 180º. Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.
A Síntese matemática, obra maior da trigonometria, foi escrita no primeiro século da era cristã por Ptolomeu de Alexandria. Pouco sabe-se sobre a vida desse matemático egípcio, mas sua obra é conhecida até hoje como Almajesto, que significa o maior. Trata-se de um compêndio de treze livros, do qual ainda há cópias hoje. Na obra, Ptolomeu apresenta sua teoria em que coloca no centro do Universo a Terra, em torno da qual giram o Sol, a Lua e os cinco planetas então conhecidos.
No Almajesto encontra-se uma tabela trigonométrica bem mais completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio grau, entre 0º e 180°. Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos, portanto, ele usou uma circunferência como raio de 60 unidades.
Distribuição dos conteúdos de Trigonometria no currículo de Matemática
Alguns conceitos relacionados a Trigonometria no triângulo retângulo é assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. No entanto, esse conteúdo é mais aprofundado no âmbito do Ensino Médio, sobretudo porque é muito importante para que o aluno nessa etapa de ensino aprenda conceitos de física e contribui para aprofundar conceitos de geometria e de função.
Alguns conceitos da física clássica, como é o caso do estudo de vetores e decomposição de forças aplicadas em um corpo, necessitam das noções de seno e cosseno. Além disso, encontra-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) um destaque para o estudo da trigonometria, no qual é enfatizado o seu potencial no que refere ao desenvolvimento de habilidades e competências.
Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações [...] (BRASIL, 1999, p. 257).
A habilidade e a competência a que se referem os PCN´s estão intimamente ligadas à era da informação e dos avanços tecnológicos. Entre as habilidades que devem ser desenvolvidas nos estudantes do ensino médio, destacam-se: selecionar informações, analisá-las e tomar decisões a partir dos resultados obtidos.
Esse mesmo estudo mostra, ainda, a necessidade de adequação dos currículos a uma nova realidade. Para tanto, o critério utilizado consiste na recorrência à contextualização e à interdisciplinaridade, facilitando o trabalho com temas abordados, os quais permitam conexões dentro da própria Matemática e da Matemática com outras ciências. Nesse mesmo sentido, os PCN´s recomendam que o estudo das funções trigonométricas deve ser ligado de alguma forma ao estudo das funções.
Fundamentação teórica da História da Matemática no ensino
A trigonometria é um dos mais antigos ramos da Matemática, surgida na antiguidade para medir ângulos e distâncias com o objetivo de localizar pontos sobre a superfície terrestre a fim de resolver problemas oriundos das necessidades humanas.
É utilizada em várias situações práticas e teóricas envolvendo não somente problemas internos da matemática, mas também de outras disciplinas cientificas e tecnológicas que envolvem fenômenos periódicos como eletricidade, termodinâmica, óptica, eletrocardiogramas, entre outros.
Alguns autores indicam que o ensino da Trigonometria sempre apresentou deficiências, entre as quais destacamos a extensão do programa; o pouco ou quase nenhum domínio dos alunos de conhecimentos prévios importantes como o estudo da circunferência e seus elementos, de semelhança de triângulos e de simetria; a pouca afinidade dos professores com o conteúdo, sua história e sua aplicação em diversas áreas do conhecimento humano.
Estes fatores levam a que se desenvolva o ensino de trigonometria baseado no estudo de fórmulas e regras, descontextualizado e sem significado para a maioria dos alunos, recorrendo à memorização de exercícios padrões, muitos dos quais sem aplicações no dia a dia, ocasionando uma aprendizagem deficitária por parte do aluno. No que se refere ao curso noturno, as dificuldades são ainda maiores, pois agregada a todas as dificuldades acima está a falta de uma bibliografia adequada para tal público.
Considerando a necessidade de sugerir caminhos capazes de ajudar a superar estas dificuldades e, ao mesmo tempo, fazer com que o aluno desenvolva conhecimentos e habilidades para alcançar os três principais campos de competências de base matemática no ensino médio, propostos pelos PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio), que são: representação e comunicação; investigação e compreensão e percepção sociocultural e histórica da Matemática, e também destacando a importância histórica da trigonometria, faz se necessário que o professor utilize situações problemas que estejam relacionadas com a vivência dos alunos para que o processo ensino aprendizagem aconteça de forma significativa.
Revisão da literatura
Sabe-se que, ainda hoje, no sistema escolar brasileiro o ensino de Matemática é baseado na transmissão de conhecimentos elaborados. Os conteúdos são, em grande parte apresentados, acompanhados por extensas listas de exercícios repetitivos, na esperança de que os alunos adquiram habilidade na aplicação de algoritmos escolares específicos. Esse processo sustenta a transmissão ao invés da construção de conhecimentos; a passividade, ao invés da ação.
O ensino tradicional limita-se a apresentar objetos e operações por meio de demonstrações feitas para a classe. Não se preocupando com a construção dos conceitos e operações. Muitos professores de matemática acreditam ser uma perda de tempo, por exemplo, deixar os alunos manipularem materiais e descobrir relações entre seus elementos.
De acordo com Arcavi apud Piaget (1998), o conhecimento surge de interação entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Para este pesquisador, objeto do conhecimento é tudo o que pode ser conhecido pelo homem e não somente objetos materiais, desde coisas, natureza, até ideias, valores, relações humanas, história, cultura.
Partindo dessas ideias, é possível supor que uma boa forma de se adquirir ou expandir as estruturas cognitivas de um indivíduo é colocá-lo diante de uma situação problema tal que seus conhecimentos sejam insuficientes para chegar à solução.
Alguns pesquisadores procuraram investigar a influência de materiais didáticos propondo estratégias para o ensino da trigonometria como forma de minimizar as dificuldades dos alunos em relação a este conteúdo, para que favoreça aplicação prática deste, na resolução de problemas do cotidiano.
Proposta de trabalho
Ao longo do tempo, inúmeras mudanças têm ocorrido na sociedade especialmente com o aparecimeto das novas tecnologias. No entanto, o modo de ensinar parece não ter acompanhado essas transformações aumentando o distanciamento entre a escola e o cotidiano do educando.
Nesse contexto, evidencia-se a necessidade de buscar outras estratégias pedagógicas no sentido de proporcionar uma educação que envolva o educando e potencialize uma aprendizagem mais significativa.
Lorenzato (2006, p.3) aponta que “(...) o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que só se aprende fazendo”. A partir da ressalva de Lorenzato, pode-se constatar que instigar o estudante é fundamental, pois essa ação possibilita ao aprendiz apropiar-se do conhecimento a partir das suas conclusões. O professor nesse processo atua apenas como um mediador, direcionando os questionamentos dos educandos, capacitando-os a encontrar suas próprias respostas.
Medindo sombras, calculando razões e interpretando os resultados
Objetivo: Verificar que a relação entre os lados no triângulo retângulo não depende do tamanho (comprimento dos lados) deste triângulo.
Metodologia: Dividir a turma em duplas e orientar para que cada dupla meça a altura do companheiro e o comprimento de sua respectiva sombra. Anotar o resultado no caderno. Orientar toda a turma no sentido de que a posição de todos tem de ser padronizada: ou todos de frente para o sol, ou todos de costa, etc.
Discutir o porquê de tal padronização. De posse das anotações feitas no pátio, cada dupla calculará a razão entre a altura do colega e comprimento de sua sombra. Os resultados das divisões deverão ter duas casas decimais.
Dialogando com a classe, o professor tentará fazer com que percebam que os valores para a razão obtida são muito próximos. A seguir, buscará com os alunos explicações para o fato.
Material: Cada dupla de alunos deverá ter fita métrica ou trena e uma calculadora (opcional).
Instruções:
Forme uma dupla com alguém de sua classe, meça a altura e a sombra de seu companheiro. Anote os resultados no caderno. A seguir, peça para ele fazer o mesmo.
Tome os comprimentos obtidos e calcule a razão b=altura/sombra para cada membro da dupla.
Anote o resultado no caderno, deixando duas casas decimais.
Verifique se as duas razões obtidas são iguais ou próximas e tente, juntamente
com seu companheiro, achar uma explicação para o fato.
Observe os resultados obtidos pelas demais duplas. Existe alguma regularidade? Qual a explicação?
REFERÊNCIAS:
ARCAVI, A. E. Em Matemática, o que constroem aqueles instrui. Substratum: temas fundamentais em psicologia e educação, Porto Alegre: Artmed, v.2, p.79-97, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio: Matemática. Brasília: Ministério da Educação e Cultura, 1999.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. Campinas, SP: Papirus,1996.
LORENZATO, S. Para aprender Matemática. Campinas-SP: Autores Associados, 2006.
A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI = três GONO= ângulos METRIA= medida. Etimologicamente, significa medida dos ângulos de um triângulo e determina um ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes.
Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolomeu 150 d.C o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.
Na segunda metade do século dois a.C., surgiu um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilônia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1º em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto.
Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda. Ele construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0º a 180º. Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.
A Síntese matemática, obra maior da trigonometria, foi escrita no primeiro século da era cristã por Ptolomeu de Alexandria. Pouco sabe-se sobre a vida desse matemático egípcio, mas sua obra é conhecida até hoje como Almajesto, que significa o maior. Trata-se de um compêndio de treze livros, do qual ainda há cópias hoje. Na obra, Ptolomeu apresenta sua teoria em que coloca no centro do Universo a Terra, em torno da qual giram o Sol, a Lua e os cinco planetas então conhecidos.
No Almajesto encontra-se uma tabela trigonométrica bem mais completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio grau, entre 0º e 180°. Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos, portanto, ele usou uma circunferência como raio de 60 unidades.
Distribuição dos conteúdos de Trigonometria no currículo de Matemática
Alguns conceitos relacionados a Trigonometria no triângulo retângulo é assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. No entanto, esse conteúdo é mais aprofundado no âmbito do Ensino Médio, sobretudo porque é muito importante para que o aluno nessa etapa de ensino aprenda conceitos de física e contribui para aprofundar conceitos de geometria e de função.
Alguns conceitos da física clássica, como é o caso do estudo de vetores e decomposição de forças aplicadas em um corpo, necessitam das noções de seno e cosseno. Além disso, encontra-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) um destaque para o estudo da trigonometria, no qual é enfatizado o seu potencial no que refere ao desenvolvimento de habilidades e competências.
Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações [...] (BRASIL, 1999, p. 257).
A habilidade e a competência a que se referem os PCN´s estão intimamente ligadas à era da informação e dos avanços tecnológicos. Entre as habilidades que devem ser desenvolvidas nos estudantes do ensino médio, destacam-se: selecionar informações, analisá-las e tomar decisões a partir dos resultados obtidos.
Esse mesmo estudo mostra, ainda, a necessidade de adequação dos currículos a uma nova realidade. Para tanto, o critério utilizado consiste na recorrência à contextualização e à interdisciplinaridade, facilitando o trabalho com temas abordados, os quais permitam conexões dentro da própria Matemática e da Matemática com outras ciências. Nesse mesmo sentido, os PCN´s recomendam que o estudo das funções trigonométricas deve ser ligado de alguma forma ao estudo das funções.
Fundamentação teórica da História da Matemática no ensino
A trigonometria é um dos mais antigos ramos da Matemática, surgida na antiguidade para medir ângulos e distâncias com o objetivo de localizar pontos sobre a superfície terrestre a fim de resolver problemas oriundos das necessidades humanas.
É utilizada em várias situações práticas e teóricas envolvendo não somente problemas internos da matemática, mas também de outras disciplinas cientificas e tecnológicas que envolvem fenômenos periódicos como eletricidade, termodinâmica, óptica, eletrocardiogramas, entre outros.
Alguns autores indicam que o ensino da Trigonometria sempre apresentou deficiências, entre as quais destacamos a extensão do programa; o pouco ou quase nenhum domínio dos alunos de conhecimentos prévios importantes como o estudo da circunferência e seus elementos, de semelhança de triângulos e de simetria; a pouca afinidade dos professores com o conteúdo, sua história e sua aplicação em diversas áreas do conhecimento humano.
Estes fatores levam a que se desenvolva o ensino de trigonometria baseado no estudo de fórmulas e regras, descontextualizado e sem significado para a maioria dos alunos, recorrendo à memorização de exercícios padrões, muitos dos quais sem aplicações no dia a dia, ocasionando uma aprendizagem deficitária por parte do aluno. No que se refere ao curso noturno, as dificuldades são ainda maiores, pois agregada a todas as dificuldades acima está a falta de uma bibliografia adequada para tal público.
Considerando a necessidade de sugerir caminhos capazes de ajudar a superar estas dificuldades e, ao mesmo tempo, fazer com que o aluno desenvolva conhecimentos e habilidades para alcançar os três principais campos de competências de base matemática no ensino médio, propostos pelos PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio), que são: representação e comunicação; investigação e compreensão e percepção sociocultural e histórica da Matemática, e também destacando a importância histórica da trigonometria, faz se necessário que o professor utilize situações problemas que estejam relacionadas com a vivência dos alunos para que o processo ensino aprendizagem aconteça de forma significativa.
Revisão da literatura
Sabe-se que, ainda hoje, no sistema escolar brasileiro o ensino de Matemática é baseado na transmissão de conhecimentos elaborados. Os conteúdos são, em grande parte apresentados, acompanhados por extensas listas de exercícios repetitivos, na esperança de que os alunos adquiram habilidade na aplicação de algoritmos escolares específicos. Esse processo sustenta a transmissão ao invés da construção de conhecimentos; a passividade, ao invés da ação.
O ensino tradicional limita-se a apresentar objetos e operações por meio de demonstrações feitas para a classe. Não se preocupando com a construção dos conceitos e operações. Muitos professores de matemática acreditam ser uma perda de tempo, por exemplo, deixar os alunos manipularem materiais e descobrir relações entre seus elementos.
De acordo com Arcavi apud Piaget (1998), o conhecimento surge de interação entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Para este pesquisador, objeto do conhecimento é tudo o que pode ser conhecido pelo homem e não somente objetos materiais, desde coisas, natureza, até ideias, valores, relações humanas, história, cultura.
Partindo dessas ideias, é possível supor que uma boa forma de se adquirir ou expandir as estruturas cognitivas de um indivíduo é colocá-lo diante de uma situação problema tal que seus conhecimentos sejam insuficientes para chegar à solução.
Alguns pesquisadores procuraram investigar a influência de materiais didáticos propondo estratégias para o ensino da trigonometria como forma de minimizar as dificuldades dos alunos em relação a este conteúdo, para que favoreça aplicação prática deste, na resolução de problemas do cotidiano.
Proposta de trabalho
Ao longo do tempo, inúmeras mudanças têm ocorrido na sociedade especialmente com o aparecimeto das novas tecnologias. No entanto, o modo de ensinar parece não ter acompanhado essas transformações aumentando o distanciamento entre a escola e o cotidiano do educando.
Nesse contexto, evidencia-se a necessidade de buscar outras estratégias pedagógicas no sentido de proporcionar uma educação que envolva o educando e potencialize uma aprendizagem mais significativa.
Lorenzato (2006, p.3) aponta que “(...) o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que só se aprende fazendo”. A partir da ressalva de Lorenzato, pode-se constatar que instigar o estudante é fundamental, pois essa ação possibilita ao aprendiz apropiar-se do conhecimento a partir das suas conclusões. O professor nesse processo atua apenas como um mediador, direcionando os questionamentos dos educandos, capacitando-os a encontrar suas próprias respostas.
Medindo sombras, calculando razões e interpretando os resultados
Objetivo: Verificar que a relação entre os lados no triângulo retângulo não depende do tamanho (comprimento dos lados) deste triângulo.
Metodologia: Dividir a turma em duplas e orientar para que cada dupla meça a altura do companheiro e o comprimento de sua respectiva sombra. Anotar o resultado no caderno. Orientar toda a turma no sentido de que a posição de todos tem de ser padronizada: ou todos de frente para o sol, ou todos de costa, etc.
Discutir o porquê de tal padronização. De posse das anotações feitas no pátio, cada dupla calculará a razão entre a altura do colega e comprimento de sua sombra. Os resultados das divisões deverão ter duas casas decimais.
Dialogando com a classe, o professor tentará fazer com que percebam que os valores para a razão obtida são muito próximos. A seguir, buscará com os alunos explicações para o fato.
Material: Cada dupla de alunos deverá ter fita métrica ou trena e uma calculadora (opcional).
Instruções:
Forme uma dupla com alguém de sua classe, meça a altura e a sombra de seu companheiro. Anote os resultados no caderno. A seguir, peça para ele fazer o mesmo.
Tome os comprimentos obtidos e calcule a razão b=altura/sombra para cada membro da dupla.
Anote o resultado no caderno, deixando duas casas decimais.
Verifique se as duas razões obtidas são iguais ou próximas e tente, juntamente
com seu companheiro, achar uma explicação para o fato.
Observe os resultados obtidos pelas demais duplas. Existe alguma regularidade? Qual a explicação?
REFERÊNCIAS:
ARCAVI, A. E. Em Matemática, o que constroem aqueles instrui. Substratum: temas fundamentais em psicologia e educação, Porto Alegre: Artmed, v.2, p.79-97, 1998.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio: Matemática. Brasília: Ministério da Educação e Cultura, 1999.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. Campinas, SP: Papirus,1996.
LORENZATO, S. Para aprender Matemática. Campinas-SP: Autores Associados, 2006.
