quinta-feira, 3 de novembro de 2011

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS I – DEDC I
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NA MODALIDADE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA


Alunas:
Alesandra Anjos Silva
Cleide Pereira de Souza
Mari Rosângela Novais Leite Caires


BIOGRAFIA DE JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS


Titulado como príncipe dos matemáticos, Johann Carl Friedrich Gauss está ao lado de Arquimedes e Newton como um dos três gênios da matemática de todos os tempos. Nasceu em Braunschweig, na Alemanha em 30 de Abril de 1777 e faleceu em 23 de fevereiro de 1855, em Gottingen-Alemanha.

Filho de camponeses pobres Gerhard Diederich e Dorothea Benz. O pai insensível queria impedir que o jovem desenvolvesse seu grande potencial. Por outro lado, a mãe, uma mulher perspicaz, impôs-se contra o marido e permitiu que Gauss continuasse os seus estudos. Foi o irmão de Dorothea, Friedrich, que viu desde cedo as enormes capacidades do menino e o estimulou para que desenvolvesse o raciocínio lógico enquanto criança.

Aos sete anos entrou para a escola, antes disso já aprendera a ler e a somar sozinho. Três anos depois o seu professor, Buttner, pediu à turma que somasse todos os números de 1 até 100. Gauss rapidamente observou uma série aritmética, e concluiu que o resultado era a soma de 50 pares de números que somam 101, através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética.

Com este feito conquistou a simpatia do professor, e este apresentou-o ao Johann Martin Bartels, nessa época, um jovem assistente, de 17 anos, apaixonado pela matemática, a quem entregou a tarefa de ensinar ao precoce Gauss. Entre os dois moços firmou-se sólida amizade, que durou até a morte de Bartels.

Tendo amigos influentes, Bartels fez com que Gauss se tornasse conhecido do duque de Braunschweig, que lhe garante recursos para prosseguir os estudos e tivesse meios de subsistência.

Em 1792, com 15 anos Gauss ingressou no Collegium Carolinum, onde permaneceu por três anos, estudando as obras mais notáveis de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac Newton. É nesse período que Gauss inicia suas investigações sobre aritmética superior, que o tornariam imortal e lhe dariam o título de "príncipe da matemática. Aos 18 anos inventa o método dos mínimos quadrados, indispensável para as medições geodésicas. A Lei de Gauss, relativa à distribuição dos erros, e sua curva normal (em forma de sino) são amplamente conhecidas de todos os que estudam estatística.

Em 1795 deixou Brunswick para estudar na Universidade de Gottingen, tendo como professor Kaestner, de quem ele não assistia às aulas freqüentemente por achá-las elementares. Seu único amigo conhecido entre os estudantes era Farkas Bolyai. Eles se conheceram em 1799 e trocaram correspondência por muitos anos.

Gauss deixou Gottingen em 1798 sem um diploma, mas foi nesta época que ele fez uma de suas descobertas mais importantes - a construção de um polígono regular de 17 lados - apenas com régua e compasso. Este foi o principal avanço, neste campo, desde o tempo da matemática grega e foi publicado como Seção VII do seu famoso trabalho Disquisitiones Arithmeticae.

Em 1796 define suas preferências definitivamente, decidindo dedicar-se à matemática. No dia 30 de março desse ano, Gauss começa a redigir um diário científico, anotando as suas descobertas. Esse diário só foi divulgado 43 anos após a sua morte quando, para isso, a Sociedade Real de Göttingen obteve a permissão do seu neto. O diário contém 146 anotações, breves exposições dos descobrimentos feitos pelo seu autor no período de 1796 a 1814.

Doutorou-se em 1799 pela universidade de Helmstedt com uma dissertação, na qual demonstrou o teorema fundamental da Álgebra (para o qual haveria de fazer 4 provas distintas).

Como continuava sob proteção do Duque, Gauss não necessitava de obter rendimentos e pôde dedicar-se completamente à investigação. Publicou, em 1801, a sua obra-prima em teoria dos números, "Disquisitiones Arithmeticae", onde, entre outras coisas, introduziu a noção de congruência, e publicou a prova da lei da reciprocidade quadrática.

Também dedicou parte considerável da sua carreira à astronomia. Em particular, fez excelentes previsões da Órbita de Ceres, com recurso ao método dos Mínimos Quadrados. Dotado de uma grande genialidade, tornou-se matemático, astrônomo e físico.

Gauss casou-se, pela primeira vez, aos 28 anos com Johanne Osthoff em 1805, quando seu protetor, o duque de Braunschweig, aumentou sua pensão. Nesse mesmo ano, porém, o duque faleceu e o matemático precisou encontrar um meio de manter a família. No entanto, Johanne morreu ao dar à luz o seu terceiro filho, em 1809. Preocupado com a educação dos filhos, Gauss casou um ano depois com a melhor amiga de Johanne, Minna, e teve mais três filhos. O casamento dura até 1831, altura em que a sua esposa faleceu, vítima de doença.

A vida pessoal de Gauss foi trágica e complicada: morte prematura da sua primeira mulher, a pouca saúde da sua segunda mulher e uma terrível relação com os seus filhos negou-lhe, até tarde, a possibilidade de vida estável no seio de uma família equilibrada.

A sua fama já se espalhara pela Europa e Gauss recebeu convite para ocupar o posto que fora de Euler, em São Petersburgo, mas acabou aceitando a direção do Observatório de Göttingen, através de amigos influentes.

Gauss também abriu novos rumos com a invenção de um tipo novo de números, os inteiros complexos gaussianos, da forma a+bi, em que "a" e "b" são inteiros racionais e "i" a unidade imaginária. Ele possuía ainda, grande habilidade manual. Inventou o heliótropo; aperfeiçoou alguns instrumentos de observação, utilizados na astronomia; inventou o magnetômetro bifilar; e descobriu o telégrafo elétrico.

Gauss era conhecido por ser frio e severo nas suas relações sociais. Tinha o hábito de trabalhar sozinho, sendo criticado por não se preocupar com a divulgação dos seus trabalhos. Publicava apenas aquilo que considerava estar acima de qualquer crítica e, no seu diário científico foram encontradas descobertas não publicadas que antecipavam resultados descobertos 50 anos depois. A maior fonte da força de Gauss era sua serenidade científica, livre de ambição pessoal. Todo o seu interesse estava voltado para o avanço da matemática.

Os anos de 1811 e 1812 foram os melhores de sua vida, desfrutando Gauss de certa tranqüilidade. Logo após seu segundo matrimônio, foi observado o cometa de 1811 e Gauss teve a satisfação de constatar que o astro seguia exatamente a trajetória por ele calculada.

No período de 1821, Gauss foi conselheiro científico dos governos de Hannover e da Dinamarca, completando minuciosos estudos de geodésia, que o levaram a examinar, em toda a sua generalidade, problemas relativos às superfícies curvas e a questão da sua representação.

Suprimindo o 5º postulado do sistema axiomático de Euclides, ele provou um conjunto de teoremas que, hoje, forma a Geometria Neutra ou Geometria Absoluta, um corpo de resultados comuns a ambas Geometrias, a Euclidiana e a hiperbólica. Foi além, ele modificou o 5º postulado: por um ponto fora de uma reta passam infinitas retas que não a interceptam. Com isso, ele desenvolveu a Geometria hiperbólica plana. Os resultados foram publicados em 1832 como apêndice do livro Tentamem.

Seus últimos anos foram cheios de honrarias, mas não da felicidade que ele teria merecido. Pela primeira vez em mais de vinte anos ele deixou Gottingen no dia 16 de junho de 1854, para ver a estrada de ferro que estava sendo construída entre sua cidade e Kassel. No caminho, os cavalos dispararam; ele foi atirado para fora da carruagem. Não ficou ferido, mas muito chocado. No começo do ano seguinte surgiram os sintomas de gota. Inteiramente consciente, praticamente até ao fim, morreu pacificamente, lúcido e cônscio da importância de seus trabalhos, aos 78 anos de idade na manhã de 23 de fevereiro de 1855.

A matemática gaussiana serviu de ponto de partida para muitas das principais áreas de pesquisa da matemática moderna. As anotações de Gauss mostraram posteriormente que ele antecipou a geometria não-Euclidiana, 30 anos antes de Bolyai e Lobachevsky.



REFLEXÃO


A atividade “Biografia” teve grande importância em nossa formação acadêmica, sobretudo porque estudar sobre a vida de um grande matemático é gratificante e inspirador para evolução profissional e pessoal, uma vez que suas contribuições e legados foram decisivos na área da matemática, física e astronomia. Conhecer a biografia de Gauss foi de grande importância, sobretudo porque seu trabalho e as suas poderosas contribuições para a Matemática estão, ainda hoje, mais vivas do que nunca. Num olhar pela história da Matemática e da Astronomia será impossível não reconhecer o quanto o trabalho realizado por Gauss permitiu que estas duas ciências progredissem e tivessem o grau de rigor e precisão que hoje as caracterizam.


REFERÊNCIAS:


www.knoow.net/cienciasexactas/fisica/gausscf.htm. Acesso em 21/10/2011.

www.e-escola.pt › Personalidades. Acesso em 29/10/2011.

mythgard.forum-livre.com/t2271-biografia-gauss-o-jovem-nerd. Acesso em 30/10/2011.

educacao.uol.com.br/biografias/carl-friedrich-gauss.jhtm. Acesso em 30/10/2011.

quinta-feira, 6 de outubro de 2011

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
LINCENCIATURA EM MATEMÁTICA – EaD
DISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
PROFESSORA: ROSIMEIRE BATISTELA
ALUNOS: ALESANDRA ANJOS SILVA
CLEIDE PEREIRA DE SOUZA
ILMARLÉIA DOS SANTOS SILVA
JOCELMO SANTOS
MARI ROSÂNGELA NOVAIS LEITE CAIRES


A origem histórica da Trigonometria

A palavra Trigonometria tem origem grega: TRI = três GONO= ângulos METRIA= medida. Etimologicamente, significa medida dos ângulos de um triângulo e determina um ramo da Matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.
A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes.
Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolomeu 150 d.C o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.
Na segunda metade do século dois a.C., surgiu um marco na história da trigonometria: Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.). Influenciado pela matemática da Babilônia, acreditava que a melhor base de contagem era a 60. Não se sabe exatamente quando se tornou comum dividir a circunferência em 360 partes, mas isto parece dever-se a Hiparco, assim como a atribuição do nome arco de 1 grau a cada parte em que a circunferência ficou dividida. Ele dividiu cada arco de 1º em 60 partes obtendo o arco de 1 minuto.
Hiparco baseava-se numa única função, na qual a cada arco de circunferência de raio arbitrário, era associada a respectiva corda. Ele construiu o que foi presumivelmente a primeira tabela trigonométrica com os valores das cordas de ângulos de 0º a 180º. Assim, Hiparco representou um grande avanço na Astronomia e por isso recebeu o título de “Pai da Trigonometria”.
A Síntese matemática, obra maior da trigonometria, foi escrita no primeiro século da era cristã por Ptolomeu de Alexandria. Pouco sabe-se sobre a vida desse matemático egípcio, mas sua obra é conhecida até hoje como Almajesto, que significa o maior. Trata-se de um compêndio de treze livros, do qual ainda há cópias hoje. Na obra, Ptolomeu apresenta sua teoria em que coloca no centro do Universo a Terra, em torno da qual giram o Sol, a Lua e os cinco planetas então conhecidos.
No Almajesto encontra-se uma tabela trigonométrica bem mais completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de uma circunferência, para ângulos que variam de meio grau, entre 0º e 180°. Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos, portanto, ele usou uma circunferência como raio de 60 unidades.

Distribuição dos conteúdos de Trigonometria no currículo de Matemática

Alguns conceitos relacionados a Trigonometria no triângulo retângulo é assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. No entanto, esse conteúdo é mais aprofundado no âmbito do Ensino Médio, sobretudo porque é muito importante para que o aluno nessa etapa de ensino aprenda conceitos de física e contribui para aprofundar conceitos de geometria e de função.
Alguns conceitos da física clássica, como é o caso do estudo de vetores e decomposição de forças aplicadas em um corpo, necessitam das noções de seno e cosseno. Além disso, encontra-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN´s) um destaque para o estudo da trigonometria, no qual é enfatizado o seu potencial no que refere ao desenvolvimento de habilidades e competências.

Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações [...] (BRASIL, 1999, p. 257).

A habilidade e a competência a que se referem os PCN´s estão intimamente ligadas à era da informação e dos avanços tecnológicos. Entre as habilidades que devem ser desenvolvidas nos estudantes do ensino médio, destacam-se: selecionar informações, analisá-las e tomar decisões a partir dos resultados obtidos.
Esse mesmo estudo mostra, ainda, a necessidade de adequação dos currículos a uma nova realidade. Para tanto, o critério utilizado consiste na recorrência à contextualização e à interdisciplinaridade, facilitando o trabalho com temas abordados, os quais permitam conexões dentro da própria Matemática e da Matemática com outras ciências. Nesse mesmo sentido, os PCN´s recomendam que o estudo das funções trigonométricas deve ser ligado de alguma forma ao estudo das funções.


Fundamentação teórica da História da Matemática no ensino

A trigonometria é um dos mais antigos ramos da Matemática, surgida na antiguidade para medir ângulos e distâncias com o objetivo de localizar pontos sobre a superfície terrestre a fim de resolver problemas oriundos das necessidades humanas.
É utilizada em várias situações práticas e teóricas envolvendo não somente problemas internos da matemática, mas também de outras disciplinas cientificas e tecnológicas que envolvem fenômenos periódicos como eletricidade, termodinâmica, óptica, eletrocardiogramas, entre outros.
Alguns autores indicam que o ensino da Trigonometria sempre apresentou deficiências, entre as quais destacamos a extensão do programa; o pouco ou quase nenhum domínio dos alunos de conhecimentos prévios importantes como o estudo da circunferência e seus elementos, de semelhança de triângulos e de simetria; a pouca afinidade dos professores com o conteúdo, sua história e sua aplicação em diversas áreas do conhecimento humano.
Estes fatores levam a que se desenvolva o ensino de trigonometria baseado no estudo de fórmulas e regras, descontextualizado e sem significado para a maioria dos alunos, recorrendo à memorização de exercícios padrões, muitos dos quais sem aplicações no dia a dia, ocasionando uma aprendizagem deficitária por parte do aluno. No que se refere ao curso noturno, as dificuldades são ainda maiores, pois agregada a todas as dificuldades acima está a falta de uma bibliografia adequada para tal público.
Considerando a necessidade de sugerir caminhos capazes de ajudar a superar estas dificuldades e, ao mesmo tempo, fazer com que o aluno desenvolva conhecimentos e habilidades para alcançar os três principais campos de competências de base matemática no ensino médio, propostos pelos PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio), que são: representação e comunicação; investigação e compreensão e percepção sociocultural e histórica da Matemática, e também destacando a importância histórica da trigonometria, faz se necessário que o professor utilize situações problemas que estejam relacionadas com a vivência dos alunos para que o processo ensino aprendizagem aconteça de forma significativa.

Revisão da literatura

Sabe-se que, ainda hoje, no sistema escolar brasileiro o ensino de Matemática é baseado na transmissão de conhecimentos elaborados. Os conteúdos são, em grande parte apresentados, acompanhados por extensas listas de exercícios repetitivos, na esperança de que os alunos adquiram habilidade na aplicação de algoritmos escolares específicos. Esse processo sustenta a transmissão ao invés da construção de conhecimentos; a passividade, ao invés da ação.
O ensino tradicional limita-se a apresentar objetos e operações por meio de demonstrações feitas para a classe. Não se preocupando com a construção dos conceitos e operações. Muitos professores de matemática acreditam ser uma perda de tempo, por exemplo, deixar os alunos manipularem materiais e descobrir relações entre seus elementos.
De acordo com Arcavi apud Piaget (1998), o conhecimento surge de interação entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Para este pesquisador, objeto do conhecimento é tudo o que pode ser conhecido pelo homem e não somente objetos materiais, desde coisas, natureza, até ideias, valores, relações humanas, história, cultura.
Partindo dessas ideias, é possível supor que uma boa forma de se adquirir ou expandir as estruturas cognitivas de um indivíduo é colocá-lo diante de uma situação problema tal que seus conhecimentos sejam insuficientes para chegar à solução.
Alguns pesquisadores procuraram investigar a influência de materiais didáticos propondo estratégias para o ensino da trigonometria como forma de minimizar as dificuldades dos alunos em relação a este conteúdo, para que favoreça aplicação prática deste, na resolução de problemas do cotidiano.


Proposta de trabalho

Ao longo do tempo, inúmeras mudanças têm ocorrido na sociedade especialmente com o aparecimeto das novas tecnologias. No entanto, o modo de ensinar parece não ter acompanhado essas transformações aumentando o distanciamento entre a escola e o cotidiano do educando.
Nesse contexto, evidencia-se a necessidade de buscar outras estratégias pedagógicas no sentido de proporcionar uma educação que envolva o educando e potencialize uma aprendizagem mais significativa.
Lorenzato (2006, p.3) aponta que “(...) o ensino deveria dar-se do concreto ao abstrato, justificando que o conhecimento começa pelos sentidos e que só se aprende fazendo”. A partir da ressalva de Lorenzato, pode-se constatar que instigar o estudante é fundamental, pois essa ação possibilita ao aprendiz apropiar-se do conhecimento a partir das suas conclusões. O professor nesse processo atua apenas como um mediador, direcionando os questionamentos dos educandos, capacitando-os a encontrar suas próprias respostas.


Medindo sombras, calculando razões e interpretando os resultados

Objetivo: Verificar que a relação entre os lados no triângulo retângulo não depende do tamanho (comprimento dos lados) deste triângulo.

Metodologia: Dividir a turma em duplas e orientar para que cada dupla meça a altura do companheiro e o comprimento de sua respectiva sombra. Anotar o resultado no caderno. Orientar toda a turma no sentido de que a posição de todos tem de ser padronizada: ou todos de frente para o sol, ou todos de costa, etc.

Discutir o porquê de tal padronização. De posse das anotações feitas no pátio, cada dupla calculará a razão entre a altura do colega e comprimento de sua sombra. Os resultados das divisões deverão ter duas casas decimais.

Dialogando com a classe, o professor tentará fazer com que percebam que os valores para a razão obtida são muito próximos. A seguir, buscará com os alunos explicações para o fato.

Material: Cada dupla de alunos deverá ter fita métrica ou trena e uma calculadora (opcional).

Instruções:
Forme uma dupla com alguém de sua classe, meça a altura e a sombra de seu companheiro. Anote os resultados no caderno. A seguir, peça para ele fazer o mesmo.

Tome os comprimentos obtidos e calcule a razão b=altura/sombra para cada membro da dupla.

Anote o resultado no caderno, deixando duas casas decimais.
Verifique se as duas razões obtidas são iguais ou próximas e tente, juntamente
com seu companheiro, achar uma explicação para o fato.

Observe os resultados obtidos pelas demais duplas. Existe alguma regularidade? Qual a explicação?

REFERÊNCIAS:

ARCAVI, A. E. Em Matemática, o que constroem aqueles instrui. Substratum: temas fundamentais em psicologia e educação, Porto Alegre: Artmed, v.2, p.79-97, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio: Matemática. Brasília: Ministério da Educação e Cultura, 1999.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. Campinas, SP: Papirus,1996.

LORENZATO, S. Para aprender Matemática. Campinas-SP: Autores Associados, 2006.